Es raro que pase eso, normalmente cualquier computador hecho despues del 2000 se apaga solo si llega a temperaturas muy altas (ie. 90ºC o mas) que pueden causar daño, y por mas calor que hubiera hecho dudo que en tu pieza hagan más de 40ºC, temperatura muy por debajo de cualquier posible daño que se pueda causar a las piezas de tu PC mientras hubiera estado apagado.

Si enciende la luz pero no parte quiere decir que cualquier cosa puede estar dañada y evita encenderse como manera de no provocar más daño. Por ejemplo puede ser que tu fuente anterior hubiera fallado y hubiera dañado la placa madre o procesador o algún disco duro con un peak de voltaje. Prueba desconectar todo, incluyendo periféricos, discos duros, etc. y dejar sólo la placa madre, procesador y RAM, y ver si prende.