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Es al revés.

>¿qué determina que tengas una propiedad privada o no? O sea, ¿cómo es controlado el que se tenga una o no?
Nada, y es justamente por eso que el anarco-capitalismo no puede sobrevivir porque no hay un Estado que proteja la propiedad privada. Considerando que en el capitalismo es una pequeña minoría la dueña del capital, en una sociedad anarquista basada en el consenso de la sociedad, y sin una concentración de poder como el Estado que los proteja o que defina a su propiedad privada como tal, se les haría muy difícil mantenerla sin usar tácticas de coerción, que es lo que el anarquismo intenta desmantelar.

>Aunque sea anarquismo de izquierda, si alguien tiene una propiedad privada, con una armada privada, no hay forma de quitársela.
No hay propiedad privada en el anarquismo de izquierda, ya que asume que no es del interés del proletariado defender intereses burgueses. Si no hay proletariado ni Estado que defienda a la burguesía, se desploma por sí sola.